Analyse topologique et structure minimale des systèmes chaotiques
Analyse topologique et structure minimale des systèmes chaotiques
Les techniques que nous avons décrites posent deux problèmes complexes nouveaux, la validation des modèles phénoménologiques obtenus ainsi que la simplification éventuelle de leur structure algébrique. La validation s’obtient grâce à la théorie mathématique des nœuds qui nous permet de construire une surface en dimension 3 à plusieurs branches appelée gabarit. On compare alors le gabarit obtenu à partir de la série chronologique mesurée expérimentalement avec le gabarit obtenu à partir d’une série numérique provenant de l’intégration numérique du modèle phénoménologique reconstruit. Cette approche ayant prouvé son efficacité, nous avons développé un logiciel permettant la détermination automatique et la visualisation en dimension trois du gabarit d’un attracteur. Cet outil a été programmé sous une interface fonctionnant dans un environnement Windows par G. Arthaud dans le cadre de son DEA d’informatique.
Concernant la simplification éventuelle de la structure des modèles obtenus, c’est-à-dire la détermination d’un modèle phénoménologique possédant une structure minimale, il s’agit d’un problème théorique ardu. En dépit de progrès considérables dans la compréhension des comportements apériodiques et de leurs mécanismes d’apparition, la détermination des conditions minimales pour qu’un système d’équations différentielles puisse exhiber un tel comportement demeure un problème ouvert. Toutefois, si on se limite à des non-linéarités quadratiques comme dans notre bibliothèque, ainsi qu’aux systèmes à dissipation constante, l’existence de deux classes d’équivalence de systèmes à structure minimale pouvant exhiber un comportement complexe a été montrée. Ces systèmes sont les plus simples jamais publiés dans la littérature spécialisée. De plus, on démontre qu’il ne peut y en avoir de plus simples. Cependant ces résultats, bien que nouveaux, sont insuffisants pour simplifier automatiquement la structure des modèles phénoménologiques que nous obtenons. En effet, ces modèles sont certes dissipatifs mais la dissipation n’est en général pas uniforme dans l’espace des états du système. Une généralisation est alors nécessaire qui passe par le développement de nouvelles techniques de preuve et une première série de résultats a été obtenue récemment.
