Modélisation phénoménologique de séries chronologiques scalaires
Modélisation phénoménologique de séries chronologiques scalaires
Dans le cadre de deux thèses, nous avons poursuivi nos travaux concernant l’identification de modèles phénoménologiques permettant de fournir une description du comportement de systèmes complexes dont une seule variable scalaire est facilement mesurable. La grandeur physique accessible à la mesure peut être de nature très variée par exemple : une tension ou une intensité électrique, une intensité lumineuse, une température ou une pression. Dans le cas d’un système mécanique en mouvement c’est plus couramment une composante du déplacement ou bien de la vitesse ou encore de l’accélération en un point de ce système. Une telle approche n’est évidemment intéressante que lorsqu’une mauvaise compréhension des mécanismes internes au système étudié rend impossible l’obtention d’un modèle du comportement de ce système à partir de lois physiques connues. Ou bien encore si le modèle obtenu est trop complexe pour être exploité de façon efficace par exemple en temps réel. Deux approches distinctes ont été développées : la première concerne le cas des systèmes autonomes, tandis que la seconde est adaptée au cas des systèmes mécaniques soumis à un forçage externe ou paramétrique.
Dans le cadre de la thèse de M.-A. Boiron, nous avons construit de façon rigoureuse une bibliothèque complète de modèles en dimension 3 sous forme d’équations différentielles ordinaires quadratiques. Chaque modèle de la bibliothèque est équivalent via un changement de variables inversible à un système sous forme canonique qui ne dépend que d’une fonction scalaire rationnelle de trois variables. La méthode développée est originale et innovante car la procédure mise au point est automatique et il n’est jamais fait de troncature à la main. D’une part, nous évaluons la forme scalaire canonique directement à partir de la série chronologique expérimentale, puis par des changements de variables nous identifions les coefficients du modèle polynomial équivalent et contenu dans la bibliothèque. D’autre part, nous effectuons l’intégration temporelle du modèle obtenu sous forme polynomiale. Ce modèle ne possède donc pas de pôles, ce qui écarte le risque de divergence de la trajectoire, contrairement à ce qui se passe dans les techniques concurrentes. Par ailleurs, les conditions initiales d’intégration sont aussi déduites automatiquement de la série enregistrée et non tirées au sort comme dans les autres méthodes.
Une première validation de la méthode développée dans le cadre de cette thèse a été effectuée sur des séries provenant de l’intégration temporelle de systèmes différentiels connus. Ne disposant pas de séries expérimentales provenant de systèmes mécaniques, nous avons pris le parti de nous investir dans un travail expérimental consistant à concevoir et à réaliser dans notre laboratoire des circuits électroniques exhibant des comportements complexes. L’enregistrement expérimental d’une tension électrique (bruitée) en un point du circuit a permis de retrouver de façon robuste les équations dynamiques régissant le fonctionnement du circuit réalisé. Ces résultats ont prouvé que la méthode de reconstruction via la bibliothèque de modèles est suffisamment riche et souple pour être appliquée à des séries expérimentales.
Plus récemment nous avons initié une collaboration avec Jack Hudson de l’Université de Charlottesville (USA). Ce physicien a obtenu une série chronologique expérimentale du courant de l’électrolyse du cuivre dans l’acide phosphorique. Cette réaction électrochimique, dont on ne dispose pas de modélisation physique, exhibe un courant apériodique en fonction du temps. En utilisant cette série expérimentale, nous avons obtenu le premier modèle phénoménologique, fiable, robuste et parcimonieux de cette électrolyse. De plus l’étude des bifurcations de ce modèle a permis de mettre en évidence les mêmes types de bifurcations observées expérimentalement par Hudson et son équipe. Ces résultats sont en cours de publication commune. Nous envisageons également un renforcement de cette collaboration pour analyser d’autres séries expérimentales obtenues par ce laboratoire de chimie physique ainsi qu’une généralisation de la bibliothèque à des modèles en dimension 4 et des non-linéarités cubiques.
Toutefois, la plupart des systèmes mécaniques ne sont pas autonomes mais sont soumis à des forçages périodiques ou quasi-périodiques, de nature externe ou paramétrique. La technique précédente n’est plus adaptée à ce cas particulier c’est pourquoi, dans le cadre de la thèse de D. Sengelin-Lejri, nous avons entrepris de développer des méthodes de modélisation spécifiques à ce type de systèmes soumis à des forçages harmoniques. La méthode a ensuite été étendue à des forçages quasi-périodiques avec deux fréquences incommensurables. Dans les deux cas, nous avons utilisé des séries scalaires provenant de l’intégration numérique des systèmes chaotiques connus. Plus récemment, nous avons aussi obtenu de bons résultats de reconstruction en utilisant des séries provenant d’attracteurs étranges (c’est-à-dire à structure fractale) mais non chaotiques ainsi qu’en utilisant des séries purement périodiques.
